自我对称的数字是一种数字，它在十进制下可以被反转并不改变其值。比如11、121、1331都是自我对称的数字。它们是非常神奇的数字，具有很多有趣的数学性质。

自我对称数字的分类

根据位数的不同，自我对称数字可以分为以下两类：

1.偶数位自我对称数字：这类数字的位数必须为偶数。比如22、1221、2332。

【资料图】

2.奇数位自我对称数字：这类数字的位数必须为奇数。比如11、121、1331。

自我对称数字的数学性质

自我对称数字具有很多有趣的数学性质。以下是其中一些性质：

1.偶数位自我对称数字一定可以被11整除。

证明：

对于一个偶数位的自我对称数字（如abcdcba），将它拆分为两个数：abccba和abcba。

这两个数字的差值为(abccba - abcba)=10000a+1000b-1000b-100a=9900a。可以看出这个差值一定是11的倍数，因为9900是11的倍数。因此，偶数位的自我对称数字一定可以被11整除。

2.一个长度为n的自我对称数字的平方是一个长度为2n-1或2n的自我对称数字。

证明：

对于一个长度为n的自我对称数字（如abcba），设它的平方为x。

x=(abcba)^2=100000a^2+10000a(2b)+1000(2ac+b^2)+1000(2bd)+100(2bc^2+2ad)+10(2cd)+d^2

将这个式子分成两部分：前半部分为(abccba)0000，后半部分为裁剪掉左右两侧的数字后得到的数字。

在前半部分中，由于(abcba)这个数是自我对称的，所以(abccba)也是自我对称的。

在后半部分中，去掉左右两侧的数字后，剩下的数字一定也是自我对称的。

因此，一个自我对称数字的平方也是一个自我对称数字。

3.若一个自我对称数字不是回文数，则其各位数字之和不是9的倍数。

证明：

设一个自我对称数字为abcde，其中a和e不相等，且e是它的最高位。

因为这个数字是自我对称的，所以a=e。假设这个数字的各位数字之和是9的倍数，即a+b+c+d+e是9的倍数。

考虑将这个数字减去它的自我对称的数字efedc，得到一个数字a-b+c-d+e。这个数字的各位数字之和是(a-b+c-d+e)+(e-d+c-b+a)=2(a+c+e)，而a+c+e不是9的倍数，因此这个数字的各位数字之和不是9的倍数。

自我对称数字在编程中的应用

自我对称数字在编程中有很多应用，比如求解回文字符串、判断身份证号码等。

在求解回文字符串的时候，我们可以将字符串分为左右两部分，如果这个字符串是自我对称的，则左右两部分的字符串必须是相同的。

判断身份证号码是否合法时，可以使用自我对称数字的性质，将号码按照位数拆分成若干个数字，判断它们是否满足各种条件，比如偶数位数字之和是否是11的倍数等。

自我对称数字在生活中的应用

自我对称数字在生活中也有很多应用，比如车牌号码、电话号码等。

在中国的车牌号码中，很多地区都使用了自我对称数字，比如新疆的新ABBBA、河南的H12321、四川的川B8888等。

在电话号码中也有很多自我对称的数字，比如110、119、10086等。

自我对称数字的研究现状

自我对称数字是一个非常有趣的数学问题，吸引了很多数学家的研究。目前对于自我对称数字的研究，主要集中在以下几个方面：

1.自我对称数字的分类和性质。

2.自我对称数字的构造和寻找。

3.自我对称数字的应用。

虽然自我对称数字是一个非常简单的数学问题，但是它隐藏的数学性质却非常有趣和深奥，值得一直探究。

总的来说，自我对称数字是一个神奇而有趣的数字，具有很多有趣的数学性质和实际应用价值。通过研究自我对称数字，可以增加我们对数学的兴趣，同时也可以提高我们的逻辑思维和问题解决能力。